命題３
互いに素でない与えられた３つの数の最大公約数を見つけること。
A、B、Cを互いに素でない３つの与えられた数とする。
A、B、Cの最大公約数を見つけることを必要とする。
２つの数AとBの最大公約数Dをとる。DはCを割り切るか、割り切らないかのどちらかである。propositionⅦ．２
最初に、DはCを割り切るとする。
しかしDはAとBをも割り切り、それゆえにDはA､B､Cを割り切る。それゆえにDはA､B､Cの公約数である。
Dはまた最大であることを言う。
DはA､B､Cの最大公約数でないならば、Dより大きい、ある数Eが数A､B､Cを割り切る。
EがA､B､Cを割り切るから、それゆえにEはAとBを割り切る。それゆえにそれはまたAとBの最大公約数を割り切る。しかしAとBの最大公約数はDであり、それゆえに、EはDを割り切るが、大きいものが小さいものを割り切ることは不可能である。propositionⅦ．２cor
それゆえに数A､B､Cを割り切る、Dより大きい数はない。それゆえにDはA､B､Cの最大公約数である。
次に、DはCを割り切らないとする。
A､B､Cは互いに素でないから、それゆえにある数がそれらを割り切る。
さてA､B､Cを割り切る数はまたAとBを割り切り、そしてそれゆえにAとBの最大公約数であるDを割り切る。しかしそれはCも割り切り、それゆえにある数は数DとCを割り切る。それゆえにDとCは互いに素でない。propositionⅦ．２cor
それらの最大公約数Eを取る。propositionⅦ．２
それから、EはDを割り切り、そしてDはAとBを割り切るから、それゆえにEもまたAとBを割り切る。しかしそれはCも割り切り、それゆえにEはA、B､Cを割り切る。それゆえにEはA､B､Cの公約数である。
次にそれはまた最大であることを言う。
EがA､B､Cの最大公約数でないならば、Eより大きい、ある数Fが数A､B､Cを割り切る。
さて、FはA､B､Cを割り切り、それはまたAとB割り切るから、それゆえにそれはAとBの最大公約数を割り切る。しかしAとBの最大公約数はDであり、それゆえにFはDを割り切る。propositionⅦ．２cor
そしてそれはCも割り切り、それゆえにFはDとCを割り切る。それゆえにそれはまたDとCの最大公約数を割り切る。しかしDとCの公約数はEであり、それゆえにFはEを割り切るが、大きいものが小さいものを割り切ることは不可能である。propositionⅦ．２cor
それゆえに数A､B､Cを割り切るEより大きい数はない。それゆえにEはA､B､Cの最大公約数である。
証明終了